Question

13．如圖，已知直角三角形周長為48cm，一銳角交平分線分對邊為3：5兩部分．
（1）求直角三角形的三邊長；
（2）求兩直角邊在斜邊上的射影的長．

Answer 1

分析 （1）設CD=3x，BD=5x，則BC=8x，過D作DE⊥AB，由Rt△ADC≌Rt△ADE知，DE=3x，BE=4x，由此利用勾股定理能求出三邊長．
（2）作CF⊥AB于F點，則AC²=AF•AB，由此能求出兩直角邊在斜邊上的射影長．

解答 解：（1）如圖，設CD=3x，BD=5x，則BC=8x，
過D作DE⊥AB，
由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，DE=3x，BE=4x，
∴AE+AC+12x=48，
又AE=AC，∴AC=24-6x，AB=24-2x，
∴（24-6x）²+（8x）²=（24-2x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=2，
∴AB=20，AC=12，BC=16，
∴三邊長分別為：20 cm，12 cm，16 cm．
（2）作CF⊥AB于F點，∴AC²=AF•AB，
∴AF=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{1{2}^{2}}{20}$=$\frac{36}{5}$ （cm），
同理：BF=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{1{6}^{2}}{20}$=$\frac{64}{5}$ （cm）．
∴兩直角邊在斜邊上的射影長分別為$\frac{36}{5}$cm，$\frac{64}{5}$ cm．

點評 本題考查直角三角形三邊長的求法，考查兩直角邊在斜邊上的射影長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意勾股定理的合理運用．