Question

3．三角形ABC的三個頂點A（1，3）B（1，-3）C（3，3），求：
（Ⅰ）BC邊上中線AD所在直線的方程；
（Ⅱ）三角形ABC的外接圓O₁的方程．
（Ⅲ）已知圓O₂：x²+y²-4y-6=0，求圓心在x-y-4=0，且過圓O₁與圓O₂交點的圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出BC的中點D的坐標，AD所在直線的斜率，即可求出BC邊上中線AD所在直線的方程；
（Ⅱ）求出圓心與半徑，即可三角形ABC的外接圓O₁的方程．
（Ⅲ）求出公共弦的方程，可得兩圓的交點，再求圓心與半徑，即可過圓O₁與圓O₂交點的圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）設BC的中點為D，由中點坐標公式得：D（2，0），
所以AD所在直線的斜率為k=-3
所以AD所在直線的方程為y-3=-3（x-1），即3x+y-6=0
（Ⅱ）由題知直線AB的斜率不存在，直線BC的斜率為0，
故三角形ABC是角A為直角BC為斜邊的直角三角形；
由（Ⅰ）知，線段BC上的中點D（2，0），
所以圓O₁的圓心坐標（2，0）半徑$r=DA=\sqrt{1+{3^2}}=\sqrt{10}$；
三角形ABC的外接圓的方程為x²+y²-4x-6=0或（x-2）²+y²=10．
（Ⅲ）圓O₁與圓O₂，兩方程相減，可得公共弦的方程為y=x，
與x²+y²-4y-6=0聯(lián)立，可得兩圓的交點分別為A（-1，-1），B（3，3），
線段AB的垂直平分線所在直線的方程為y-1=-（x-1）
與x-y-4=0，可得所求圓的圓心為（3，-1），半徑為4
所以所求圓的方程為（x-3）²+（y+1）²=16．

點評 本題考查直線方程與圓的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．