Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ（0＜θ＜

π

2

），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．
（1）寫出曲線C的普通方程，并說明它表示什么曲線；
（2）過點(diǎn)P（-2，0）作傾斜角為α的直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，證明|PA|•|PB|為定值，并求傾斜角α的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ（0＜θ＜

π

2

），可得ρ²=4ρcosθ，
化為x²+y²=4x，由于0＜θ＜

π

2

，可得y=ρsinθ＞0，因此曲線C表示的上半圓．
（2）過點(diǎn)P（-2，0）作傾斜角為α的直線l方程為：y=（x+2）tanα．
利用直線l與半圓相切的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心C（2，0）到直線l的距離d=r，

|2tanα+2tanα|

tan2α+1

=2，化為tan2α=

1

3

．由于曲線C表示的是上半圓，取tanα=

3

3

，可得α=

π

6

．
因此當(dāng)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)時(shí)，可得α的取值范圍．再利用割線定理可得|PA|•|PB|=|PO|（|PO|+2r）即可得出．

解答： 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ（0＜θ＜

π

2

），∴ρ²=4ρcosθ，
化為x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4，
由于0＜θ＜

π

2

，∴y=ρsinθ＞0，因此曲線C表示的上半圓．
（2）過點(diǎn)P（-2，0）作傾斜角為α的直線l方程為：y=（x+2）tanα．
當(dāng)直線l與半圓相切時(shí)，圓心C（2，0）到直線l的距離d=r，∴

|2tanα+2tanα|

tan2α+1

=2，
化為tan2α=

1

3

．
∵曲線C表示的是上半圓，因此取tanα=

3

3

，∴α=

π

6

．
因此當(dāng)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)時(shí)，α∈(0，

π

6

)．
由割線定理可得|PA|•|PB|=|PO|•（|PO|+2r）=2×（2+4）=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的極坐標(biāo)方程及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的相切與相交時(shí)的位置關(guān)系及其性質(zhì)、割線定理，屬于中檔題．