Question

圓C的圓心在y軸正半軸上，且與原點之間的距離為3，且該圓與直線y=5相切，EF是圓C的一直徑，
（1）求圓C的方程；
（2）若點P是圓D：（x-6）²+（y-2）²=1上一動點，求

PE

•

PF

的最值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓C的圓心在y軸正半軸上，且與原點之間的距離為3，且該圓與直線y=5相切，可得圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合參數(shù)法，利用輔助角公式，即可求

PE

•

PF

的最值．

解答： 解：（1）由條件圓C的圓心在y軸正半軸上，且與原點之間的距離為3，且該圓與直線y=5相切，可得圓心C（0，3），半徑為2，所以圓C的方程是x²+（y-3）²=4；
（2）設(shè)點P（x，y），則
因為EF是圓C的直徑，
所以

CE

=-

CF

，
所以

PE

•

PF

=（

PC

+

CE

）•（

PC

+

CF

）=（

PC

-

CF

）•（

PC

+

CF

）=

PC

2-

CF

2=

PC

2-4=x²+（y-3）²-4
而點P（x，y）在圓D：（x-6）²+（y-2）²=1上，
所以，

x=6+cosθ y=2+sinθ

，
所以

PE

•

PF

=（6+cosθ）²+（sinθ-1）²-4=34+12cosθ-2sinθ=34-2

37

sin（θ+α），
所以，

PE

•

PF

的最小值為34-2

37

，最大值為34+2

37

．

點評：本題考查圓的方程，考查圓的參數(shù)方程，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確進行向量的數(shù)量積是關(guān)鍵．