Question

如圖，三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（I）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）利用線面垂直的判定定理證明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理證明平面PAC⊥平面PBC；
（II）取PC中點D，證明∠AMD就是AM與平面PBC所成角，再利用三角函數(shù)求解即可．

解答： （I）證明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（II）解：取PC中點D，連接AD．
∵AC=PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AD⊥平面PBC，
連接DM，則∠AMD就是AM與平面PBC所成角．
設(shè)AC=BC=PA=a，則AD=

a

2

，AM=

3 a

2

，∴DM=

a

2

，
∴tan∠AMD=

AD

DM

=

2

，
∴AM與平面PBC所成角的正切值是

2

．

點評：本題考查線面垂直、面面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用判定定理是關(guān)鍵．