Question

設(shè)f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n，其中n為正整數(shù)．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想滿足不等式f（n）＜0的正整數(shù)n的范圍，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n＜0，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可：①當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=-

17

27

＜0成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（n≥3，n∈N⁺）時(shí)猜想正確，即(1+

1

k

)k-k＜0，
去證明當(dāng)n=k+1（n≥3，n∈N⁺）時(shí)，f（k+1）=(1+

1

k+1

)k+1-（k+1）＜0也成立即可．

解答： 解：（1）∵f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n，
∴f（1）=1，f（2）=(1+

1

2

)2-2=

1

4

，f（3）=(1+

1

3

)3-3=

64

27

-3=-

17

27

，…（3分）
（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n＜0，…（4分）
證明：①當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=-

17

27

＜0成立，…（5分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（n≥3，n∈N⁺）時(shí)猜想正確，即f（k）=(1+

1

k

)k-k＜0，
∴(1+

1

k

)k＜k，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
由于f（k+1）=(1+

1

k+1

)k+1=(1+

1

k+1

)k（1+

1

k+1

）＜(1+

1

k

)k（1+

1

k+1

）
＜k（1+

1

k+1

）=k+

k

k+1

＜k+1，…（8分）
∴(1+

1

k+1

)k+1＜k+1，即f（k+1）=(1+

1

k+1

)k+1-（k+1）＜0成立，
由①②可知，對(duì)n≥3，f（n）=（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n＜0成立．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算、推理及論證能力，屬于中檔題．