Question

定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)f（x）恒滿足f（1+x）=f（1-x），且x∈（-1，0）時，f（x）=2^x+

1

5

，則f（log₂20）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性，得到函數(shù)的周期，利用對數(shù)的基本運算法則進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)f（x）恒滿足f（1+x）=f（1-x），
∴f（x）關(guān)于x=1對稱，f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（x+2）=-f（x），
則f（x+4）=f（x），即函數(shù)的周期為4，
則4＜log₂20＜5，
∴0＜log₂20-4＜1，
即-1＜4-log₂20＜0，
則-1＜log₂

4

5

＜0，
則f（log₂20）=f（log₂20-4）=-f（4-log₂20）=-f（log₂

4

5

）=-（

4

5

+

1

5

）=-1，
故答案為：-1

點評：本題主要考查函數(shù)值的計算，利用條件求出函數(shù)的周期，以及利用對數(shù)的基本運算關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．