Question

設(shè)函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，求f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我們可以得到設(shè)x=y=0，則f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得到結(jié)論f（x）為奇函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義由x＞0時(shí)，有f（x）＞0，結(jié)合對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值．

解答： 解：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)．
任取兩個(gè)自變量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值為f（a）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性與性質(zhì)，是對函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用的綜合考查．