Question

【題目】如圖1，在高為6的等腰梯形中， ，且， ，將它沿對稱軸折起，使平面平面.如圖2，點為中點，點在線段上（不同于， 兩點），連接并延長至點，使.

（1）證明： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）由題設(shè)知， ， 兩兩垂直，所以可以為坐標(biāo)原點，

， ， 所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出， ，根據(jù)數(shù)量積為零可證明， ，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）

利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面平面的法向量，結(jié)合平面的法向量為，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1） 由題設(shè)知， ， 兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點，

， ， 所在直線分別為軸、軸、軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長度為，

則相關(guān)各點的坐標(biāo)為， ， ， ， ， .

∵點為中點，∴，

∴， ， ，

∵， ，

∴， ，且與不共線，

∴平面.

（2）∵， ，∴，

則，∴， .

設(shè)平面的法向量為，

∵，∴，令，則， ，則，

又顯然，平面的法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知， 為銳角，

則.

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量證明線面垂直以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.