Question

【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加某個(gè)知識答題游戲節(jié)目，答題分兩輪，第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”第二輪為“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進(jìn)行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行答題，答對一題加10分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減5分，已知甲能答對備選5道題中的每道題的概率都是，乙恰能答對備選5道題中的其中3道題；第一輪答題完畢后進(jìn)行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：先確定一人坐莊答題，若答對，繼續(xù)答下一題…，直到答錯(cuò)，則換人（換莊）答下一題…以此類推.例如若甲首先坐莊，則他答第1題，若答對繼續(xù)答第2題，如果第2題也答對，繼續(xù)答第3題，直到他答錯(cuò)則換成乙坐莊開始答下一題，…直到乙答錯(cuò)再換成甲坐莊答題，依次類推兩人共計(jì)答完20道題游戲結(jié)束，假設(shè)由第一輪答題得分期望高的同學(xué)在第二輪環(huán)節(jié)中最先開始作答，且記第道題也由該同學(xué)（最先答題的同學(xué)）作答的概率為（），其中，已知供甲乙回答的20道題中，甲，乙兩人答對其中每道題的概率都是，如果某位同學(xué)有機(jī)會答第道題且回答正確則該同學(xué)加10分，答錯(cuò)（不答視為答錯(cuò)）則減5分，甲乙答題相互獨(dú)立；兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問題

（1）請預(yù)測第二輪最先開始作答的是誰？并說明理由

（2）①求第二輪答題中，；

②求證為等比數(shù)列，并求（）的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）第二輪最先開始答題的是甲；詳見解析（2）①，②證明見解析；（）

【解析】

(1)設(shè)甲選出的3道題答對的道數(shù)為,則,設(shè)甲第一輪答題的總得分為,則,,設(shè)乙第一輪得分為,求出的分布列,得到,比較兩者大小即可得出結(jié)論;

(2)①依題意得,,再利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出;②,從而,,由此能證明是等比數(shù)列,并求出的表達(dá)式.

(1)設(shè)甲選出的3道題答對的道數(shù)為,則,

設(shè)甲第一輪答題的總得分為,則,

所以;

(或法二:設(shè)甲的第一輪答題的總得分為,則的所有可能取值為30,15,0,-15,

且,

,

,

,

故得分為的分布列為:

	30	15	0	-15

;)

設(shè)乙的第一輪得分為,則的所有可能取值為30,15,0,

則,,,

故的分布列為:

	30	15	0

故,

∵,所以第二輪最先開始答題的是甲.

(2)①依題意知,,,

②依題意有(),

∴,(),

又,

所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,

∴,

∴().