Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$（b＞0）
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）如果對(duì)任意的x＞0，都有f（x）≥f（1）=2成立，求|[f（x）]³|-|f（x³）|，（x≠0）的最小值；
（3）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|$＞\frac{1}{\sqrt{a}}$（i=1，2，3），證明：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}$．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可
（2）先求出a，b的值，求出函數(shù)的解析式，從而求出代數(shù)式的最小值即可；
（3）通過(guò)討論①x₁，x₂，x₃都為正數(shù)時(shí)，②當(dāng)x₁，x₂，x₃為有一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)的情況，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-1}{{bx}^{2}}$，首先x≠0，
∴①當(dāng)a≤0時(shí)，令f′（x）＜0，得：ax²-1＜0，
∵a≤0，
∴x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）∪（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＜0，
ax²-1＜0，ax²＜1，x²＜$\frac{1}{a}$，
∵a＞0，
∴x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，0）∪（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$），
∴當(dāng)a≤0，x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）∪（0，+∞）；
a＞0，x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，0）∪（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$），
（2）∵對(duì)?x＞0，都有f（x）＞f（1）=2，
∴根據(jù)上問(wèn)分析a不可能≤0，
∴a＞0，∴$\frac{1}{\sqrt{a}}$=1，∴a=1，
∵f（1）=$\frac{a+1}$=2，∴b=1，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，
|[f（x）]³|-|f（x³）|=3x+$\frac{3}{x}$≥2×3=6；
（3）由條件知道x₁，x₂，x₃最多有一個(gè)負(fù)數(shù)，
①當(dāng)x₁，x₂，x₃都為正數(shù)時(shí)，由第一問(wèn)可知：
f（x_i）＞f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=$\frac{2\sqrt{a}}$，
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）≥$\frac{6\sqrt{a}}$＞$\frac{2\sqrt{a}}$，
②當(dāng)x₁，x₂，x₃為有一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)x₃＜0，
∵x₂+x₃＞0，|x₃|＜$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴x₂＞-x₃＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴f（x₂）＞f（-x₃），
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x₂）+f（x₃）＞0，
∵f（x₁）＞$\frac{2\sqrt{a}}$，
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查不等式的證明，是一道難題．