Question

已知函數(shù)f（x）=x³+

5

2

x²+ax+b（a，b為常數(shù)），其圖象是曲線C．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若存在唯一的實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)A為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A處作曲線C的切線l₁與曲線C交于另一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處作曲線C的切線l₂，設(shè)切線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂．問：是否存在常數(shù)λ，使得k₂=λk₁？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可；
（2）由于存在唯一的實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時(shí)成立，則

x3+ 5 2 x2+(a-1)x+b=0 3x2+5x+a=0

存在唯一的實(shí)數(shù)根x₀，即b=2x³+

5

2

x²+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x₀，就把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；
（3）假設(shè)存在常數(shù)λ，依據(jù)曲線C在點(diǎn)A處的切線l₁與曲線C交于另一點(diǎn)B，曲線C在點(diǎn)B處的切線l₂，得到關(guān)于λ的方程，有解則存在，無解則不存在．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+

5

2

x²-2x+b
則f′（x）=3x²+5x-2=（3x-1）（x+2）
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜

1

3

，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，

1

3

）；
（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為由于存在唯一的實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時(shí)成立，
則

x3+ 5 2 x2+(a-1)x+b=0 3x2+5x+a=0

即x³+

5

2

x²+（-3x²-5x-1）x+b=0存在唯一的實(shí)數(shù)根x₀，
故b=2x³+

5

2

x²+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x₀，
令y=2x³+

5

2

x²+x，則y′=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-

1

2

或x=-

1

3

，
則函數(shù)y=2x³+

5

2

x²+x在（-∞，-

1

2

），（-

1

3

，+∞）上是增函數(shù)，在（-

1

2

，-

1

3

）上是減函數(shù)，
由于x=-

1

2

時(shí)，y=-

1

8

；x=-

1

3

時(shí)，y=-

7

54

；
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：（-∞，-

7

54

）∪（-

1

8

，+∞）；
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₀，f（x₀）），則在點(diǎn)A處的切線l₁的切線方程為y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），
與曲線C聯(lián)立得到f（x）-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），
即（x³+

5

2

x²+ax+b）-（x₀³+

5

2

x₀²+ax₀+b）=（3x₀²+5x₀+a）（x-x₀），
整理得到（x-x₀）²[x+（2x₀+

5

2

）]=0，
故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x_B=-（2x₀+

5

2

）
由題意知，切線l₁的斜率為k₁=f′（x₀）=3x₀²+5x₀+a，
l₂的斜率為k₂=f′（-（2x₀+

5

2

））=12x₀²+20x₀+

25

4

+a，
若存在常數(shù)λ，使得k₂=λk₁，則12x₀²+20x₀+

25

4

+a=λ（3x₀²+5x₀+a），
即存在常數(shù)λ，使得（4-λ）（3x₀²+5x₀）=（λ-1）a-

25

4

，
故

4-λ=0 (λ-1)a- 25 4 =0

，解得λ=4，a=

25

12

，
故a=

25

12

時(shí)，存在常數(shù)λ=4，使得k₂=4k₁；a≠

25

12

時(shí)，不存在常數(shù)，使得k₂=4k₁．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線，同時(shí)還考查了方程根的問題，一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來解決．