Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，若a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，且n≥3時(shí)，a_n＞0
（1）求證：當(dāng)n≥3時(shí)，{a_n}成等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)4S_n=a_n²+2a_n-3，再寫一式兩式相減，利用十字相乘法即可得到n≥3時(shí)，a_n的相鄰兩項(xiàng)之差為常數(shù)，即為等差數(shù)列；
（2）求出數(shù)列的第1，2項(xiàng)，可求數(shù)列的通項(xiàng)，即可求出{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
兩式相減整理可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵n≥3時(shí)，a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴n≥3時(shí)，{a_n}成等差數(shù)列；
（2）解：∵4S₁=a₁²+2a₁-3，
∴a₁=3或a₁=-1，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=0，
∴q=-1，
∵a₃＞0，
∴a₁=3，
∴a_n=

3•(-1)n-1(n=1，2) 2n-3(n≥3)

，
∴S_n=

3 2 [1-(-1)n](n=1，2) n2-2n(n≥3)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．