Question

點(diǎn)P在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上運(yùn)動(dòng)，Q、R分別在兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，則|PQ|+|PR|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1兩焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心，由此能求出|PQ|+|PR|的最大值．

解答： 解：∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，c²=4-3=1，
∴橢圓

x2

4

+

y2

3

=1兩焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心，
在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，e=

1

2

，準(zhǔn)線x=±4，
過(guò)P點(diǎn)作x軸平行線，分別交兩準(zhǔn)線于A，B兩點(diǎn)，
連接PF₁，PF₂，并延長(zhǎng)，
分別交兩圓于Q′，R′，
則|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|
=|PF₁|+1+|PF₂|+1
=e|PA|+e|PB|+2
=e|AB|+2
=

1

2

×8+2
=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．