Question

已知經(jīng)過點（0，-8）的直線l與拋物線C：x²=

1

8

y相切，則切點P到拋物線C準(zhǔn)線的距離為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,點到直線的距離公式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：化拋物線方程為一般函數(shù)式，設(shè)出切點坐標(biāo)，求導(dǎo)后得到函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)，寫出點斜式方程，代入點（0，-8），得到切點的坐標(biāo)，然后由拋物線的定義求得切點P到拋物線C準(zhǔn)線的距離．

解答： 解：由x²=

1

8

y，得y=8x²，∴y′=16x．
設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），∴y′|x=x0=16x0，
∴直線l的方程為y-8x02=16x0(x-x0)，
代入點（0，-8），得-8-8x02=16x₀（0-x₀），
即x02=1，解得：x₀=±1．
∴y0=8x02=8，
則切點P到拋物線C準(zhǔn)線的距離為8+

1

32

=

257

32

．
故答案為：

257

32

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用拋物線的定義求拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．