Question

已知x＞0，且x≠1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，它滿足條件

xn-1

Sn

=1-

1

x

，數(shù)列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（2）若對(duì)一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)條件

xn-1

Sn

=1-

1

x

，表示出S_n，利用a_n=S_n-S_n-1求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，從而確定b_n應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)表示出T_n，利用錯(cuò)位相減法求和即可；
（2）將（1）中所求b_n代入b_n＜b_n+1，化簡(jiǎn)后分情況討論，當(dāng)x＞1時(shí)，由lgx＞0可得x＞

n

n+1

，解得，x＞1；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由lgx＜0可得，x＜

n

n+1

，解得0＜x＜

1

2

．

解答： 解析：（1）∵

xn-1

Sn

=1-

1

x

，
∴Sn=

x(xn-1)

x-1

，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

x(x1-1)

x-1

=x，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

x(xn-1)

x-1

-

x(xn-1-1)

x-1

=xn，
∴an=xn（n∈N^*），
此時(shí)b_n=a_n•lgxⁿ=xⁿ•lgxⁿ=n•xⁿlgx，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=lgx•（x+2x²+3x²+…+nxⁿ），
設(shè)u_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ，
則xu_n=x²+2x³+3x⁴+…+（n-1）xⁿ+nxⁿ⁺¹，
∴（1-x）u_n=x+x²+x³+…+xⁿ-nxⁿ⁺¹=

x(xn-1)

x-1

-nxn+1
∴un=

nxn+1

x-1

-

x(xn-1)

(x-1)2

，
∴Tn=lgx•[

nxn+1

x-1

-

x(xn-1)

(x-1)2

]
（2）由b_n＜b_n+1?nxⁿlgx＜（n+1）xⁿ⁺¹lgx知，
①當(dāng)x＞1時(shí)，由lgx＞0可得，
x＞

n

n+1

，
∵

n

n+1

＜1（n∈N^*）x＞1
∴x＞

n

n+1

對(duì)一切n∈N^*都成立，
∴解得，x＞1．
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由lgx＜0可得，
n＞（n+1）x，
即x＜

n

n+1

，
∵

n

n+1

≥

1

2

（n∈N^*），0＜x＜1，
∴0＜x＜

n

n+1

對(duì)一切n∈N^*都成立
∴此時(shí)的解為0＜x＜

1

2

，由①②可知，對(duì)一切n∈N^*，
都有b_n＜b_n+1的取值范圍是0＜x＜

1

2

或a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查a_n=S_n-S_n-1的靈活應(yīng)用，錯(cuò)位相減法求和，不等式恒成立問(wèn)題的解決等綜合知識(shí)，屬于難題．