【題目】已知橢圓的長軸長為,右頂點到左焦點的距離為,分別為橢圓的左、右兩個焦點.

1)求橢圓的方程;

2)已知橢圓的切線(與橢圓有唯一交點)的方程為,切線與直線和直線分別交于點、,求證:為定值,并求此定值;

3)設(shè)矩形的四條邊所在直線都和橢圓相切(即每條邊所在直線與橢圓有唯一交點),求矩形的面積的取值范圍.

【答案】1;(2)證明見解析,;(3

【解析】

1)由長軸長可得,由右頂點到左焦點的距離為,進(jìn)而求解即可;

2)聯(lián)立可得,由相切可得,,分別求得,,代入,進(jìn)而求解即可;

3)分別討論的情況,當(dāng),設(shè)直線,,聯(lián)立直線與橢圓方程,可得,即可代回求得直線的方程,進(jìn)而求得直線與直線的距離,同理求得直線與直線的距離,從而利用均值不等式求解.

1)由題,因為,,

所以,,,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

2)證明:由(1,

聯(lián)立可得,

所以,,

對于切線:,

當(dāng),;當(dāng),,

所以,

,

所以,為定值.

3)由題,當(dāng),

當(dāng),設(shè)邊所在直線為切線:,

所以,

聯(lián)立可得,

,,

所以直線的方程為;直線的方程為,

所以直線和直線的距離為,

同理,直線和直線的距離為,

所以,

因為,當(dāng)且僅當(dāng),時等號成立,

所以,

綜上,

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,設(shè)是橢圓的左焦點,為直線上任意一點,過的垂線交橢圓于點,.

1)證明:線段平分線段(其中為坐標(biāo)原點);

2)當(dāng)最小時,求點的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】,當(dāng)x[0,1]時,fx)=x,若在區(qū)間(﹣1,1]內(nèi),有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍是( 。

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;

2)當(dāng)時,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

3)若存在,且當(dāng)時,,證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)當(dāng)時,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點到直線的距離為,過點的直線交于、兩點.

1)求拋物線的準(zhǔn)線方程;

2)設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,若,且的交點在拋物線上,求直線的斜率和點的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列,數(shù)列滿足(n),其中常數(shù)k為正整數(shù).

1)設(shè)數(shù)列n項的積,當(dāng)k2時,求數(shù)列的通項公式;

2)若是首項為1,公差d為整數(shù)的等差數(shù)列,且4,求數(shù)列的前2020項的和;

3)若是等比數(shù)列,且對任意的n,,其中k≥2,試問:是等比數(shù)列嗎?請證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出以下四個命題:

①設(shè)是空間中的三條直線,若,,則.

②在面積為的邊上任取一點,則的面積大于的概率為.

③已知一個回歸直線方程為,則.

④數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為的一次函數(shù).

其中正確命題的充號為________.(把所有正確命題的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場以來,生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量,決定邀請第三方檢測機(jī)構(gòu)對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)Z來衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)時,產(chǎn)品為優(yōu)等品;當(dāng)時,產(chǎn)品為一等品;當(dāng)時,產(chǎn)品為二等品.第三方檢測機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件,繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本,估計該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況,并用頻率估計概率.

1)從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,求至少有1件優(yōu)等品的概率;

2)現(xiàn)某人決定購買80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元,購買前,邀請第三方檢測機(jī)構(gòu)對要購買的80件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測,買家、企業(yè)及第三方檢測機(jī)構(gòu)就檢測方案達(dá)成以下協(xié)議:從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測,若檢測出3件或4件為優(yōu)等品,則按每件1600元購買,否則按每件1500元購買,每件產(chǎn)品的檢測費(fèi)用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為X元,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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