【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn),為直線上任意一點(diǎn),過(guò)做的垂線交橢圓于點(diǎn),.
(1)證明:線段平分線段(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));
(2)當(dāng)最小時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)證明見解析;(2)或.
【解析】
(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,可得直線的斜率,討論與兩種情況,設(shè)直線的方程是,,;聯(lián)立直線與橢圓方程,即可用表示點(diǎn)的坐標(biāo),即可證明結(jié)論.
(2)由(1)結(jié)合弦長(zhǎng)公式,表示出,即可得,結(jié)合基本不等式即可求得最小值及最小值時(shí)的值,進(jìn)而得點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)證明:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,
設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn),為直線上任意一點(diǎn),
所以得坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,
則直線的斜率,
當(dāng)時(shí),直線的斜率,
直線的方程是,
當(dāng)時(shí),直線的方程,
也符合方程的形式,
設(shè),,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得:
消去得,
有,
設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,
, ,
所以直線的斜率,又因?yàn)橹本的斜率,
所以點(diǎn)在直線上,因此線段平分線段.
(2)由(1)知,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),
即時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)取得最小值,
點(diǎn)的坐標(biāo)為或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓與軸交于 兩點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線與直線分別交于 兩點(diǎn).是否存在點(diǎn)使得以 為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求證:過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有一條;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定橢圓,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線的方程并證明;
②求證:線段的長(zhǎng)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào),鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問(wèn)卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人,余下的人中,在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績(jī)后得到如下列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)不少于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí) | 4 | 19 | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí) | |||
合計(jì) | 45 |
(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(2)①按照分層抽樣的方法,在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸)中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若可,試判斷曲線和的位置關(guān)系;
(2)若曲線與交于點(diǎn),兩點(diǎn),且,滿足.求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在軸非負(fù)半軸上,且點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2,求取得最大值時(shí)的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某企業(yè)近3年的前7個(gè)月的月利潤(rùn)(單位:百萬(wàn)元)如下面的折線圖所示:
(1)試問(wèn)這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤(rùn)最高?
(2)通過(guò)計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤(rùn)的發(fā)展趨勢(shì);
(3)試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)(如下表),用線性回歸的擬合模式估測(cè)第3年8月份的利潤(rùn).
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利潤(rùn)y(單位:百萬(wàn)元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相關(guān)公式: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為,、分別為橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知橢圓的切線(與橢圓有唯一交點(diǎn))的方程為,切線與直線和直線分別交于點(diǎn)、,求證:為定值,并求此定值;
(3)設(shè)矩形的四條邊所在直線都和橢圓相切(即每條邊所在直線與橢圓有唯一交點(diǎn)),求矩形的面積的取值范圍.
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