已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，
3
2
），且其右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F重合，過(guò)點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OF上是否存在點(diǎn)N（n，0），使得
QP
•
NP
=
PQ
•
NQ
？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)P0（4，0）且不垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，試證明：直線AE過(guò)定點(diǎn)．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出
1
a2
+
9
4
b2
=1
a2-b2=1
，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=k（x-1），k≠0，代入
x2
4
+
y2
3
=1，得（3+4k2）x2-8k2x+8k2-12=0，由已知條件推導(dǎo)出直線NR的方程為：y+
3k
3+4k2
=-
1
k
（x-
4k2
3+4k2
），由此能求出線段OF上存在點(diǎn)N（n，0），使得
QP
•
NP
=
PQ
•
NQ
，其中n∈（0，
1
4
）．
（3）設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4），k≠0，代入
x2
4
+
y2
3
=1，得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，由根的判別式得到k∈（-
1
2
，
1
2
），設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），E（x4，-y4），由已知條件推導(dǎo)出直線AE的方程為y-y3=
y3+y4
x3-x4
(x-x3)，由此能證明直線AE過(guò)定點(diǎn)（1，0）．
解答： （1）解：∵橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F重合，
∴F（1，0），
又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，
3
2
），
∴
1
a2
+
9
4
b2
=1
a2-b2=1
，解得
a2=4
b2=3
，
∴橢圓的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）解：設(shè)直線PQ的方程為：y=k（x-1），k≠0，
代入
x2
4
+
y2
3
=1，得：
（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
△=（-8k2）2-4（3+4k2）（4k2-12）＞0恒成立．
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），線段PQ的中點(diǎn)為R（x3，y3），
則x3=
x1+x2
2
=
4k2
3+4k2
，y3=k(x3-1)=-
3k
3+4k2
，
由
QP
•
NP
=
PQ
•
NQ
，得：
PQ
•(
NQ
+
NP
)=
PQ
•(2
NR
)=0，
∴直線NR為直線PQ 的垂直平分線，
直線NR的方程為：y+
3k
3+4k2
=-
1
k
（x-
4k2
3+4k2
），
令y=0得：N點(diǎn)的橫坐標(biāo)n=
k2
3+4k2
=
1
3
k2
+4
，
∵k2∈（0，+∞），∴
3
k2
+4∈(4，+∞)，∴n∈（0，
1
4
）．
線段OF上存在點(diǎn)N（n，0），使得
QP
•
NP
=
PQ
•
NQ
，其中n∈（0，
1
4
）．
（3）證明：設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4），k≠0，
代入
x2
4
+
y2
3
=1，得：
（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，
由△=（-32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，得：k∈（-
1
2
，
1
2
），
設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），E（x4，-y4），
則x3+x4=
32k2
3+4k2
，x3x4=
64k2-12
3+4k2
，
則直線AE的方程為y-y3=
y3+y4
x3-x4
(x-x3)，
令y=0得：x=-y3•
x3-x4
y3+y4
+x3
=
x3y4+x4y3
y3+y4

=
x3•k(x4-4)+x4•k(x4-4)
k(x3+x4-8)

=
2x3x4-4(x3+x4)
x3+x4-8

=
2•
64k2-12
3+4k2
-4•
32k2
3+4k2
32k2
3+4k2
-8
=1．
∴直線AE過(guò)定點(diǎn)（1，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段上滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個(gè)函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（　�。�
A、f（x）=lnx
B、f（x）=
1
x
C、f（x）=ex
D、f（x）=x3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項(xiàng)和，若2Tn＜λ對(duì)n∈N*恒成立，求整數(shù)λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，-1），（0，1），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-
1
2
．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡T的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)E（-1，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交軌跡T于C、D兩點(diǎn)，若線段CD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，橢圓上的點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的最大面積為1．
（1）求橢圓的方程．
（2）過(guò)圓M：x2+y2=r2（r＞0）外一點(diǎn)P（x0，y0）作圓M的兩條切線PA，PB（且點(diǎn)分別為A，B），則直線AB的方程為x0x+y0y=r2，類(lèi)比此結(jié)論，過(guò)點(diǎn)Q（3，1）作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點(diǎn)分別為D、E），寫(xiě)出直線DE的方程，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（
5
，0），以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線
3
x-y+4=0相切，A，B分別是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且不與A，B重合．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P均不與A，B重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為kAP，kBP，試問(wèn)kAP•kBP的值是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在函數(shù)f（x）=ex2+aex圖象上點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為e，則
∫
1
0
f（x）dx=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若f（x）=x
2
3
-x-
1
2
，則滿足f（x）＜0的x的取值范圍是
 
．

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