如圖,拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
3
2
,C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P(
3
,
1
2

(1)求拋物線C1及橢圓C2的方程;
(2)已知直線l:y=kx+t(k≠0,t>0)與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)M滿足
AM
+
BM
=
0
,直線FM的斜率為k1,試證明k•k1
-1
4

(1)將P(
3
,
1
2
)代入x2=2py得p=3,∴拋物線C1的方程為x2=6y,焦點(diǎn)F(0,
3
2

把P(
3
1
2
)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1
3
a2
+
1
4b2
=1
,又e=
3
2
,∴a=2,b=1故橢圓C2的方程為
x2
4
+
y2
1
=1

(2)由直線l:y=kx+t與
x2
4
+
y2
1
=1
聯(lián)立得(1+4k2)x2+8ktx+4(t2-1)=0,△>0得1+4k2>t2
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2=
-8kt
1+4k2

由題意點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),設(shè)M(xM,yM),
xM=
-4kt
1+4k2
,yM=
t
1+4k2
,
k1=
2t-3(1+4k2)
-8kt
kk1
3t2-2t
8t
=
3t-2
8
>-
1
4
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A,雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B,過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P,若點(diǎn)D滿足:2
OD
=
OF
+
OP
(O為原點(diǎn))且
AB
AD
(λ≠0)

(1)求雙曲線的離心率;
(2)若a=2,過(guò)點(diǎn)B的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn),問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)C,使?
CM
CN
為常數(shù),若存在,求出C點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
(1)若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為
3
2
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍;
(3)過(guò)原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點(diǎn),設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d,試求d=1時(shí)a,b滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

三角形ABC的兩頂點(diǎn)A(-2,0),B(0,-2),第三頂點(diǎn)C在拋物線y=x2+1上,求三角形ABC的重心G的軌跡.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

[理]如圖,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A,B分別在圖中拋物線y2=4x及橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的實(shí)線上運(yùn)動(dòng),若ABx軸,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,0),則△ABN的周長(zhǎng)l的取值范圍是______.
[文]點(diǎn)P是曲線y=x2-lnx上任意一點(diǎn),則P到直線y=x-2的距離的最小值是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上.若橢圓上的點(diǎn)A(1,
3
2
)
到焦點(diǎn)F1、F2的距離之和等于4.
(1)寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).
(2)過(guò)點(diǎn)Q(1,0)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M、N,當(dāng)△OMN的面積取得最大值時(shí),求直線MN的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為P(1,0),過(guò)C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線C2:y=x2+h(h∈R)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F點(diǎn)的直線l交拋物線與A、B兩點(diǎn),過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C2的切線交于Q點(diǎn),且Q點(diǎn)在橢圓C1上,求△ABQ面積的最值,并求出取得最值時(shí)的拋物線C2的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知P是橢圓
x2
45
+
y2
20
=1
的第三象限內(nèi)一點(diǎn),且它與兩焦點(diǎn)連線互相垂直,若點(diǎn)P到直線4x-3y-2m+1=0的距離不大于3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.[-7,8]B.[-
9
2
,
21
2
]
C.[-2,2]D.(-∞,-7]∪[8,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)F1(-1,0),F2(1,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=2
2

(1)求M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=
7
7
(x-1)
與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求
F1A
F1B
的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案