Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、C的對邊，m=（b，2a-c），n=（cosB，cosC）且m∥n．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設f（x）=cosωx+sin（ωx+

B

2

）（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π，求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應用

分析：（1）根據(jù)m∥n，可得到bcosC=（2a-c）cosB，再利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．結(jié)合三角形內(nèi)角和及三角函數(shù)誘導公式即可求出B的值．
（2）首先將函數(shù)f（x）化簡為f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），最小正周期為π，則ω=2．從而得到f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵m∥n，
∴bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB．
由正弦定理可得，
sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB．
又∵B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB，
∴cosB=

1

2

．
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）f（x）=cosωx+sin（ωx+

B

2

）
=cosωx+sin（ωx+

π

6

）
=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx
=

3

sin（ωx+

π

3

）
又∵f（x）的最小正周期為π，
∴T=

2π

ω

=π．
∴ω=2．
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）．
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]．
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]．
∴當2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時，f（x）取得最大值

3

．
當2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

時，f（x）取得最小值

3

2

．

點評：本題考查向量數(shù)量積，三角函數(shù)求值等知識的綜合應用，屬于中檔題．