Question

已知不等式（m-1）x²-2x+1≥0
（1）若不等式對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若不等式對任意x∈[2，4]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據一元二次不等式的性質可知，不等式（m-1）x²-2x+1≥0對任意實數(shù)x恒成立等價于

m-1＞0 △=4-4(m-1)≤0

，求解即可得實數(shù)m的取值范圍；
（2）構造函數(shù)f（x）=（m-1）x²-2x+1，根據二次函數(shù)性質，分情況討論f（x）在x∈[2，4]時的最小值，解不等式f（x）_min≥0即可確定實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵不等式（m-1）x²-2x+1≥0對任意實數(shù)x恒成立，
∴

m-1＞0 △=4-4(m-1)≤0

，
解得，m≥2
∴實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．
（2）令f（x）=（m-1）x²-2x+1，
則f（x）圖象關于x=

1

m-1

對稱，
當m-1≤0時，f（x）在[2，4]上遞減，f（4）=16（m-1）-7＜0，
不滿足題意；
當m-1＞0時，若

1

m-1

≤2，則f（x）在[2，4]上遞增，
不等式（m-1）x²-2x+1≥0對任意x∈[2，4]恒成立等價于
f（2）=4（m-1）-3≥0，
解得，m≥

7

4

；
若

1

m-1

≥4，則f（x）在[2，4]上遞減，
不等式（m-1）x²-2x+1≥0對任意x∈[2，4]恒成立等價于
f（4）=16（m-1）-7≥0，
無解；
若2＜

1

m-1

＜4，則不等式（m-1）x²-2x+1≥0對任意x∈[2，4]恒成立等價于
△=4-4（m-1）≤0，無解．
綜上所述，不等式對任意x∈[2，4]恒成立，實數(shù)m的取值范圍是[

7

4

，+∞)．

點評：本題考查的重點是恒成立問題，考查利用函數(shù)性質求函數(shù)的最值，解題的關鍵是構造函數(shù)求最值．屬于難題．