Question

如圖四棱錐P-ABCD的底面是一等腰梯形，其中AD∥BC，其中AD=3BC=6，AB=DC=2

2

，又平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=5，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，經(jīng)過直線OB且與直線PA平行的平面OBM與直線PC相交于點(diǎn)M．
（1）確定實(shí)數(shù)t，使得

PM

=t

MC

；
（2）求平面PAD與平面OBM夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）連結(jié)AC，設(shè)AC∩OB=N，則平面PAC∩平面OBM=MN，由此推導(dǎo)出△ONA∽△BNC，從而能求出t的值．
（2）由已知條件推導(dǎo)出PO⊥平面ABCD，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為E，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA，OE，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAD與平面OBM夾角的余弦值．

解答： 解：（1）連結(jié)AC，設(shè)AC∩OB=N，則平面PAC∩平面OBM=MN，
∵PA∥平面OBM，∴MN∥PA，
∴t=

PM

MC

=

AN

NC

，
又∵BC∥AD，∴△ONA∽△BNC，
∴t=

PM

MC

=

AN

NC

=

AO

CB

=

3

2

．
（2）∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
設(shè)線段BC的中點(diǎn)為E，由于ABCD是等腰梯形，∴OE⊥AD，
如圖以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA，OE，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵OP=

PA2-OA2

=4，OE=

AB2-(OA-EB)2

=2，
∴A（3，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-3，0，0），P（0，0，4），
平面PAD的法向量

m

=（0，1，0），設(shè)平面OBM的法向量

n

=（x，y，z），
由

n

•

OB

=0，

n

•

PA

=0，
∴

x+2y=0 3x-4z=0

，令x=1，得

n

=（1，-

1

2

，

3

4

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

- 1 2

1× 1+ 1 4 + 9 16

=-

2

29

=-

2 29

29

，
∴平面PAD與平面OBM夾角的余弦值為

2 29

29

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查平面與平面所成的角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．