如圖四棱錐P-ABCD的底面是一等腰梯形，其中AD∥BC，其中AD=3BC=6，AB=DC=2
2
，又平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=5，點O是線段AD的中點，經(jīng)過直線OB且與直線PA平行的平面OBM與直線PC相交于點M．
（1）確定實數(shù)t，使得
PM
=t
MC
；
（2）求平面PAD與平面OBM夾角的余弦值．
考點：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面所成的角
專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用
分析：（1）連結AC，設AC∩OB=N，則平面PAC∩平面OBM=MN，由此推導出△ONA∽△BNC，從而能求出t的值．
（2）由已知條件推導出PO⊥平面ABCD，設線段BC的中點為E，以點O為原點，OA，OE，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PAD與平面OBM夾角的余弦值．
解答： 解：（1）連結AC，設AC∩OB=N，則平面PAC∩平面OBM=MN，
∵PA∥平面OBM，∴MN∥PA，
∴t=
PM
MC
=
AN
NC
，
又∵BC∥AD，∴△ONA∽△BNC，
∴t=
PM
MC
=
AN
NC
=
AO
CB
=
3
2
．
（2）∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
設線段BC的中點為E，由于ABCD是等腰梯形，∴OE⊥AD，
如圖以點O為原點，OA，OE，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
∵OP=
PA2-OA2
=4，OE=
AB2-(OA-EB)2
=2，
∴A（3，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-3，0，0），P（0，0，4），
平面PAD的法向量
m
=（0，1，0），設平面OBM的法向量
n
=（x，y，z），
由
n
•
OB
=0，
n
•
PA
=0，
∴
x+2y=0
3x-4z=0
，令x=1，得
n
=（1，-
1
2
，
3
4
），
∴cos＜
m
，
n
＞=
-
1
2
1×
1+
1
4
+
9
16
=-
2
29
=-
2
29
29
，
∴平面PAD與平面OBM夾角的余弦值為
2
29
29
．
點評：本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查平面與平面所成的角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對任意的n∈N*，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．
（1）求證：數(shù)列{an}的通項公式為an=4n-2；
（2）已知數(shù)列{bn}是以2為首項，公比為3的等比數(shù)列，其第n項恰好是數(shù)列{an}的第r項，求
lim
n→∞
r
3n
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+bx+c在x=1處的切線是y=（3a-3）x-3a+4．
（1）試用a表示b和c；
（2）求函數(shù)f（x）≥-
3
2
在[1，3]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校高三4班有50名學生進行了一場投籃測試，其中男生30人，女生20人．為了了解其投籃成績，甲、乙兩人分別都對全班的學生進行編號（1～50號），并以不同的方法進行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃考試的成績大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，以下是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù)：
編號 性別 投籃成績
2 男 90
7 女 60
12 男 75
17 男 80
22 女 83
27 男 85
32 女 75
37 男 80
42 女 70
47 女 60
甲抽取的樣本數(shù)據(jù)   
編號 性別 投籃成績
1 男 95
8 男 85
10 男 85
20 男 70
23 男 70
28 男 80
33 女 60
35 女 65
43 女 70
48 女 60
乙抽取的樣本數(shù)據(jù)
（Ⅰ）觀察乙抽取的樣本數(shù)據(jù)，若從男同學中抽取兩名，求兩名男同學中恰有一名非優(yōu)秀的概率．
（Ⅱ）請你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表，判斷是否有95%以上的把握認為投籃成績和性別有關？
優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計
男
女
合計 10
（Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據(jù)（Ⅱ）的結論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)？說明理由．
下面的臨界值表供參考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

A={x|2≤x≤6}，B={x|3x-7≥8-2x}，
（1）A∪B，∁R（A∩B）
（2）若C={x|a-4＜x≤a+4}，且A⊆C，求a．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是角A、C的對邊，m=（b，2a-c），n=（cosB，cosC）且m∥n．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）設f（x）=cosωx+sin（ωx+
B
2
）（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π，求f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校高三2班有48名學生進行了一場投籃測試，其中男生28人，女生20人．為了了解其投籃成績，甲、乙兩人分別對全班的學生進行編號（1～48號），并以不同的方法進行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃考試的成績大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，以下是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù)：
編號 性別 投籃成績
 3 男 90
7 女 60
11 男 75
15 男 80
19 女 85
23 男 80
27 男 95
31 男 80
35 男 80
39 女 60
43 男 75
47 女 55
甲抽取的樣本數(shù)據(jù)                                                              
編號 性別 投籃成績
 1 男 95
8 男 85
10 男 85
17 男 80
23 男 60
24 男 90
27 男 80
31 女 80
35 女 65
37 女 35
41 女 60
46 女 75
乙抽取的樣本數(shù)據(jù)      
（Ⅰ）從甲抽取的樣本數(shù)據(jù)中任取兩名同學的投籃成績，記“抽到投籃成績優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅱ）請你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表，判斷是否有95%以上的把握認為投籃成績和性別有關？
  優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計
男      
女      
合計     12
（Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據(jù)（Ⅱ）的結論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)？說明理由．
下面的臨界值表供參考：
0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n-a+b+c+d）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a∈R，i是虛數(shù)單位．若復數(shù)
a-i
3+i
是純虛數(shù)，則a=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（α）=2sin（α+
π
4
），其中角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（x，y），且0≤α≤π．若點P（x，y）為平面區(qū)域
x+y≥1
y≥x
y≤1
上的一個動點，則f（α）的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案