Question

過圓C₁：x²+y²-6x=0與圓C₂：x²+y²=4的交點，圓心在以

c

=（0，1）為方向向量且與圓C₂：x²+y²=4相切的直線上的圓的方程為

 

．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：聯(lián)立圓C₁，圓C₂的方程可得兩交點的坐標為A（

2

3

，

4 2

3

），B（

2

3

，-

4 2

3

）．由此可得圓心在x軸上．以

c

=（0，1）為方向向量且與圓C₂：x²+y²=4相切的直線為x=±2．所以圓心坐標為C（±2，0）．半徑長即為|AC|．從而可得圓的方程．

解答： 解：將圓C₁，圓C₂的方程聯(lián)立，得

x2+y2-6x=0 x2+y2=4

．
解得

x= 2 3 y= 4 2 3

或

x= 2 3 y=- 4 2 3

．
∴圓C經(jīng)過點A（

2

3

，

4 2

3

），B（

2

3

，-

4 2

3

）．
∴圓C的圓心在x軸上．
又∵以

c

=（0，1）為方向向量且與圓C₂：x²+y²=4相切的直線
為x=±2．
∴圓心坐標為C（±2，0）．
圓的半徑r=|AC|
當圓心為（2，0）時，
|AC|=

( 2 3 -2)2+( 4 2 3 )2

=

4 3

3

．
此時，圓的方程為
(x-2)2+y2=

16

3

．
當圓心為（-2，0）時，
|AC|=

( 2 3 +2)2+( 4 2 3 )2

=

4 6

3

．
此時，圓的方程為
(x+2)2+y2=

32

3

．
故答案為：(x-2)2+y2=

16

3

或(x+2)2+y2=

32

3

．

點評：本題考查圓的標準方程，兩點間的距離公式，方向向量等知識的綜合運用．屬于中檔題．