Question

已知函數(shù)f（x）=

e-x-3(x≤0) ax-2(x＞0)

（a為常數(shù)且a＞0），對于下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的最小值為-2；
②函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
③若f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為（2，+∞）；
④當x≠0時，xf′（x）＞0（這里f′（x）是f（x）的導函數(shù)）．
其中正確的是（　　）

• A、①③④
• B、①②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,導數(shù)的運算

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過圖象觀察即可判斷．

解答： 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過圖象觀察得到：
①函數(shù)f（x）的最小值為-2，故①正確；
②函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，故②錯；
③f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，則a-2＞0，
∴a＞2，故③正確；
④x＜0，f（x）為單調(diào)減函數(shù)；x＞0時，f（x）為增函數(shù)．故對一切非零實數(shù)x，xf′（x）＞0成立，故④正確；
故選：A．

點評：本題考查分段函數(shù)的圖象及應用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及導數(shù)與單調(diào)性的關系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．