Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．
（1）求它的定義域；
（2）判斷它的奇偶性；
（3）求證：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（4）求證：f（x）在（1，+∞）上遞增．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求它的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷它的奇偶性；
（3）代入直接證明即可求證：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（4）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可證明f（x）在（1，+∞）上遞增．

解答 解：（1）由1-x²≠0得x²≠1，即x≠±1，
即函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}；
（2）∵f（-x）=$\frac{1+（-x）^{2}}{1-（-x）^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=f（x），
∴函數(shù)為偶函數(shù)；
（3）∵f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1+（\frac{1}{x}）^{2}}{1-（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$=-$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=-f（x）；
（4）∵f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2-（1-{x}^{2}）}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-1．
∴當x＞1時，y=1-x²為減函數(shù)，且y=1-x²＜0，
則函數(shù)y=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$為增函數(shù)，即y=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-1為增函數(shù)．
即f（x）在（1，+∞）上遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)定義域，奇偶性，單調(diào)性的判斷和證明，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．