Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x，g（x）=-6x（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，+∞）時是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由題意得f′（3）=0，則a=4，從而f（x）_min=f（3）=-18；f（x）_max=f（1）=-6．
（2）由題意得，h′（x）=3x²-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，即a≤

3

2

(x+

1

x

)在（0，+∞）恒成立，而(x+

1

x

)min=2，從而a≤3．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
由題意得f′（3）=0，則a=4，
當x∈（1，3），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當x∈（3，4），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（3）=-18；
f（x）_max=f（1）=-6．
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax²+3x，
由題意得，h′（x）=3x²-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤

3

2

(x+

1

x

)在（0，+∞）恒成立，
而(x+

1

x

)min=2
∴a≤3．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．