Question

某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力與技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率p與日產(chǎn)量x（件）（x∈N^*）之間大體滿足如框圖所示的關(guān)系（注：次品率P=

次品數(shù)

生產(chǎn)量

）．又已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A（元），但每生產(chǎn)一件次品將虧損

A

2

（元）．（其中c為小于96的常數(shù)）
（1）若c=50，當(dāng)x=46 時(shí)，求次品率P；
（2）求日盈利額T（元）與日產(chǎn)量x（件）（x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,選擇結(jié)構(gòu)

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若c=50，當(dāng)x=46時(shí)，即可求次品率P；
（2）每天的贏利為T=日產(chǎn)量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日產(chǎn)量（x）×次品率（P）×虧損，整理即可得到；
（3）當(dāng)x＞c時(shí)，每天的盈利額T=0；當(dāng)1≤c＜84時(shí)，利用基本不等式可得x=c時(shí)，等號(hào)成立，利潤(rùn)最大；當(dāng)84≤c＜96時(shí)，當(dāng)x=84時(shí)，利潤(rùn)最大．

解答： 解：（1）若c=50，當(dāng)x=46時(shí)，P=

1

96-46

=

1

50

=0.02…（3分）
（2）當(dāng)1≤x≤c時(shí)，T=(1-

1

96-x

)xA-

1

96-x

xA=[x-

3x

2(96-x)

]A，
當(dāng)x＞c時(shí)，T=

1

3

xA-

2

3

x

A

2

=0，
因此，T=

[x- 3x 2(96-x) ]A(1≤x≤c) 0(x＞c)

     …（8分）
（3）當(dāng)x＞c時(shí)，每天的盈利額T=0；
當(dāng)1≤x≤c且x∈N時(shí)，T=[x-

3x

2(96-x)

]A
令96-x=t，則0＜96-c≤t≤95（t∈N），
T=[96-t-

3

2

•

96-t

t

]•A=(

195

2

-t-

144

t

)A
令g（t）=t+

144

t

①當(dāng)1≤c＜84時(shí)，12＜96-c＜t≤95，g（t）在區(qū)間（12，95）為單增函數(shù)，
g（t）_min=g（96-c）=（96-c）+

144

96-c

，
∴T≤[

195

2

-（96-C）-

144

96-C

]A=

189c-2c2

192-2c

A＞0
（當(dāng)且僅當(dāng)x=c時(shí)取等號(hào)）∴當(dāng)x=c時(shí)，Tmax=

189c-2c2

192-2c

A．        …（12分）
②84≤c＜96時(shí)，g（t）≥2

t• 144 t

=24，T≤

147

2

A，
∴當(dāng)t=12即x=84時(shí)，Tmax=

147

2

A
綜上，當(dāng)1≤c＜84時(shí)，Tmax=

189c-2c2

192-2c

A；84≤c＜96時(shí)，Tmax=

147

2

A．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用基本不等式求得函數(shù)的最值問題，也考查了分段函數(shù)的問題，是中檔題．