Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln（2x+a）+x²，且f′（0）=$\frac{2}{3}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）求曲線f（x）在x=-1處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=0代入，計(jì)算可得a=3，進(jìn)而得到解析式；
（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（2x+a）+x²，的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{2}{2x+a}$+2x，
f′（0）=$\frac{2}{3}$，可得$\frac{2}{a}$=$\frac{2}{3}$，
解得a=3，
即有f（x）=ln（2x+3）+x²；
（2）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2}{2x+3}$+2x，
曲線f（x）在x=-1處的切線斜率為2-2=0，
切點(diǎn)為（-1，1），
即有曲線f（x）在x=-1處的切線方程為y=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，正確求導(dǎo)和理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．