Question

15．（1）設(shè)直線l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中實數(shù)k₁，k₂滿足k₁k₂+2=0．證明l₁與l₂相交．
（2）若曲線C₁：x²+y²-2x=0x²+y²-2x=0與曲線C₂：y（y-mx-m）=0有四個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用反證法．假設(shè)l₁與l₂不相交，從而得到k₁²+2=0，與k₁為實數(shù)的事實相矛盾，推翻假設(shè)，從而證明l₁與l₂相交．
（2）曲線C₁是圓．，曲線C₂表示兩條直線，把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心和半徑，根據(jù)直線y-mx-m=0過定點，先求出直線與圓相切時的m的值，然后結(jié)合圖象能過河卒子同m的范圍．

解答 解：（1）∵用反證法．假設(shè)l₁與l₂不相交，則l₁與l₂平行，有k₁=k₂，
代入k₁k₂+2=0，得k₁²+2=0，此與k₁為實數(shù)的事實相矛盾，
從而k₁≠k₂，即l₁與l₂相交．
（2）由題意得曲線C₁：x²+y²-2x=0表示一個圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得：
（x-1）²+y²=1，圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑r=1，
C₂：y（y-mx-m）=0表示兩條直線y=0和y-mx-m=0，
由直線y-mx-m=0可知：此直線過定點（-1，0），
在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象，如圖所示：
當(dāng)直線y-mx-m=0與圓相切時，圓心到直線的距離d=$\frac{|2m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=r=1$，
化簡，得：${m}^{2}=\frac{1}{3}$，解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則直線y-mx-m=0與圓相交時，m∈$（-\frac{\sqrt{3}}{3}，0）∪（0，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
∴實數(shù)m的取值范圍是$[-\frac{\sqrt{3}}{3}，0）∪（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

點評 本題考查直線相交的證明，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時要注意反證法、數(shù)形結(jié)合思想的合理運用，是中檔題．