Question

12．解關(guān)于x的不等式：$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1（a＞0）．

Answer 1

分析 原不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{（1-{a}^{2}）{x}^{2}-2ax≤0}\end{array}\right.$，分類討論解不等式組可得．

解答 解：原不等式可化為$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤1+ax，
等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{1+ax≥1}\\{{x}^{2}+1≤（1+ax）^{2}}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{（1-{a}^{2}）{x}^{2}-2ax≤0}\end{array}\right.$，
當(dāng)1-a²=0即a=1時(shí)，解不等式組可得{x|x≥0}；
當(dāng)1-a²＞0即0＜a＜1時(shí)，解不等式組可得{x|0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$}；
當(dāng)1-a²＜0即a＞1時(shí)，解不等式組可得{x|x≥0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查無(wú)理不等式的解集，等價(jià)轉(zhuǎn)化并分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．