【題目】如圖,四棱錐中,底面為菱形,直線平面,,,上的一點(diǎn),.

1)證明:直線平面

2)若,求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2

【解析】

1)設(shè),連接,由平面,可得,證明相似,可得,從而可知平面

2)由,可知為正方形,以為原點(diǎn),,所在方向分別為,軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面的法向量,進(jìn)而可求得二面角的余弦值.

1)設(shè),連接,∵平面,

,又,∴,∴,

在直角中,,,故,∴,

,∴相似,故

,∴平面

2)由,可知為正方形,,

平面,故以為原點(diǎn),,所在方向分別為,軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,,,,

,故,

顯然平面的一個(gè)法向量為,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,得,

設(shè)二面角的大小為,則

故二面角的余弦值為.

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