Question

若對滿足條件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x和y，（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=x+y+3，利用基本不等式可得3+x+y=xy≤(

x+y

2

)2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號．令x+y=t＞0，則t²-4t-12≥0，可得t的取值范圍．即x+y的取值范圍．由（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，可得a≤[(x+y)+

1

x+y

]min=(t+

1

t

)min（t≥6）．再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=x+y+3，
∴3+x+y=xy≤(

x+y

2

)2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號．
令x+y=t＞0，則t²-4t-12≥0，
解得t≥6．
即x+y的取值范圍是[6，+∞）．
由（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，∴a≤[(x+y)+

1

x+y

]min=(t+

1

t

)min（t≥6）．
令g（t）=t+

1

t

(t≥6)，則g′(t)=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，因此函數(shù)g（t）在t∈[6，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（t）_min=6+

1

6

=

37

6

．
∴a≤

37

6

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤

37

6

．
故答案為：a≤

37

6

．

點(diǎn)評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．