Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn).

⑴求證：；

⑵求二面角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)直四棱柱的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理，即可證得；（2）由是直棱柱，且，故、、兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面和平面的法向量，求解兩個(gè)向量所成的角，即可求解二面角的余弦值.

試題解析：⑴證明：連接，交于點(diǎn)，連接.

由是直三棱柱得四邊形為矩形，的中點(diǎn).

又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以，

所以，，所以.

⑵由是直棱柱，且，故、、兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，.

所以，.

設(shè)平面的法向量為，則有 所以

取，得.

易知平面法向量為.

由二面角平面角是銳角，得.

所以二面角的余弦值為.