Question

8．設(shè)曲線y=x²與x²+（y-a）²=1在同一交點處的切線相互垂直，則a=$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$．

Answer 1

分析 設(shè)出交點，求得切點處的切線的斜率，由兩條切線互相垂直：斜率之積等于-1，得到方程，結(jié)合切點在兩曲線上，滿足曲線方程，解方程組，即可解出a的值．

解答 解：拋物線y=x²與圓x²+（y-a）²=1有交點，
設(shè)交點為P（m，n），Q（-m，n），（m＞0），
過圓上一點P的切線的斜率為k₁=-$\frac{m}{n-a}$，
由y=x²的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
可得在P處的切線的斜率為k₂=2m，
由交點處的切線互相垂直可得，
2m•（-$\frac{m}{n-a}$）=-1，
又m²+（n-a）²=1，n=m²．
解得a=$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，n=m²=$\frac{\sqrt{17}-1}{8}$．
故答案為：$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，同時考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，屬于中檔題．