Question

矩形ABCD中，AB=4，BC=2，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)A出發(fā)沿折線(xiàn)ABCD移動(dòng)一周后，回到A點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的路程為x，△PAC的面積為y，
（1）求函數(shù)y的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)y的圖象；
（3）求函數(shù)y的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,軌跡方程

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）畫(huà)出矩形，求出點(diǎn)P在AB、BC、CD、AD上移動(dòng)時(shí)，函數(shù)y的解析式是什么；
（2）根據(jù)函數(shù)y的解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象；
（3）由圖象得出函數(shù)y的取值范圍是什么．

解答： 解：（1）如圖所示，
點(diǎn)P在AB上移動(dòng)時(shí)，0≤x≤4，y=

1

2

•AP•BC=

1

2

•x•2=x；
點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，4＜x≤6，y=

1

2

•AB•BC-

1

2

•AB•PB=

1

2

•4•2-

1

2

•4（x-4）=12-2x；
點(diǎn)P在CD上移動(dòng)時(shí)，6＜x≤10，y=

1

2

•AD•DC-

1

2

•AD•PD=

1

2

•2•4-

1

2

•2（10-x）=x-6；
點(diǎn)P在AD上移動(dòng)時(shí)，10＜x≤12，y=

1

2

•PA•CD=

1

2

（12-x）•4=24-2x；
∴函數(shù)y=

x，x∈[0，4] 12-2x，x∈(4，6] x-6，x∈(6，10] 24-2x，x∈(10，12]

；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)y的圖象如圖所示；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，得出函數(shù)y的取值范圍是[0，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求分段函數(shù)的解析式問(wèn)題，根據(jù)解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象以及求函數(shù)的值域的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．