Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 為直角梯形， ， ，四邊形為等腰梯形， ，已知， ， ．　

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析:(1)連接在等腰梯形中可證得從而且再證面， 面，所以平面平面．(2)先建立空間直角坐標(biāo)系求出面的法向量，直線與面所成角的正弦值即為向量與面法向量夾角的余弦值的絕對值.

（Ⅰ）證明：取中點，連接， ， ，可知，

∴，

又， ∴平面，

∴， 又，

，∴平面， 平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）如圖，作，則平面，過 作交于點，

故以為原點，分別以 的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間平面直角坐標(biāo)系，依題意可得 ， ， ， ，所以 ， ， ．

設(shè) 為平面EAC的法向量，則

即 不妨設(shè)，

可得，

所以 ，

直線CF與平面EAC所成角的正弦值為．