Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，AB=AD=

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BC，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB．
（Ⅰ）求證：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：PB⊥AC；
（Ⅲ）是否存在點Q，到四棱錐P-ABCD各頂點的距離都相等？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)底面ABCD為梯形，推斷出AD∥BC，進而利用線面平行的判定定理推斷出 BC∥平面PAD．
（Ⅱ）設(shè)BC的中點為O，連結(jié)AO，在梯形ABCD中，根據(jù)AB=AD=

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BC，∠ABC=60°，推斷出△ABO為等邊三角形，又 AD∥BC，推斷出四邊形OCDA為菱形．由∠AOC=120°，OA=OC，求得∠OAC，進而求得∠BAC=90°，判斷出AB⊥AC，根據(jù)平面PAB⊥平面ABCD，AB是交線，推斷出AC⊥平面PAB，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出PB⊥AC．
（Ⅲ）PA⊥PB，PB⊥AC根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出PB⊥平面PAC進而可知PB⊥PC，推斷出△PBC為直角三角形，連結(jié)BD，證明出△ABC≌△DCB，推斷出△DBC為直角三角形，推斷出點O是三個直角三角形：△PBC、△ABC和△DBC的共同的斜邊BC的中點，進而可知 OA=OB=OC=OD=OP，進而可知存在點Q（即點O）到四棱錐P-ABCD各頂點的距離都相等．

解答： （Ⅰ）證明：底面ABCD為梯形，AD∥BC，
又   BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以 BC∥平面PAD．
（Ⅱ）證明：設(shè)BC的中點為O，連結(jié)AO，在梯形ABCD中，
因為 AB=AD=

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BC，∠ABC=60°，
所以△ABO為等邊三角形，OA=1，
又 AD∥BC，
所以 四邊形OCDA為菱形．
因為∠AOC=120°，OA=OC，
所以∠OAC=30°，
所以∠BAC=90°，AB⊥AC，
又平面PAB⊥平面ABCD，AB是交線，
所以 AC⊥平面PAB，
所以 AC⊥PB，即PB⊥AC．
（Ⅲ）解：因為 PA⊥PB，PB⊥AC，所以PB⊥平面PAC．
所以，PB⊥PC，
所以△PBC為直角三角形，∠BPC=90°．
連結(jié)BD，由（Ⅱ）知∠BCD=60°，
所以△ABC≌△DCB，
所以△DBC為直角三角形，∠BDC=90°．
所以點O是三個直角三角形：△PBC、△ABC和△DBC的共同的斜邊BC的中點，
所以 OA=OB=OC=OD=OP，
所以存在點Q（即點O）到四棱錐P-ABCD各頂點的距離都相等．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理及性質(zhì)．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運用．