Question

過x軸上動點A（a，0），引拋物線y=x²+3的兩條切線AP、AQ，切點分別為P、Q．
（Ⅰ）若a=-1，求直線PQ的方程；
（Ⅱ）探究直線PQ是否經(jīng)過定點，若有，請求出定點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,直線的一般式方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過切線的斜率相等，求出P，Q的坐標，然后求直線PQ的方程；
（Ⅱ）（先猜后證）猜測直線PQ過定點（0，6），證明如下：
過A（a，0）的直線方程為y-0=k（x-a），聯(lián)立直線與拋物線方程，通過韋達定理推出PQ的方程，然后說明直線PQ過定點（0，6）．

解答： 解：（Ⅰ）∵y'=（x²+3）′=2x------（1分）
不妨設(shè)Q(x1，x12+3)，P(x2，x22+3)，x₁＜x₂
∴kAQ=

x12+3

x1+1

=2x1，kAP=

x22+3

x2+1

=2x2-------（3分）
x12+3=2x12+2x1⇒x12+2x1-3=0⇒x₁=1，x₂=-3，
∴P（1，4），Q（-3，12），
由兩點式可得?_PQ：2x+y-6=0-----------（6分）
（Ⅱ）（先猜后證）令a=0，依（Ⅰ）步驟可求得直線PQ：y=6
聯(lián)立

y=6 2x+y-6=0

得交點（0，6），故猜測直線PQ過定點（0，6）-----（7分）
證明如下：
過A（a，0）的直線方程為y-0=k（x-a）

y=kx-ka y=x2+3

⇒x²+3=kx-ka，
x²-kx+ka+3=0△=k²-4（ka+3）=0，k²-4ka-12=0
∴k₁k₂=-12，即2x₁•2x₂=-12，
∴x₁x₂=-3------（9分）
設(shè)Q(x1，x12+3)，P(x2，x22+3)
?PQ：y-x12-3=

x22+3-x12-3

x2-x1

(x-x1)⇒y-x12-3=(x2+x1)(x-x1)
令x=0，y=-x2x1-x12+x12+3=3-x1x2=3+3=6，
即直線PQ過定點（0，6）----（12分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，圓錐曲線方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及切線方程的應(yīng)用，難度比較大的壓軸題目．