Question

設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到定點(diǎn)F（c，0）的距離與到定直線l：x=

a2

c

的距離的比等于

c

a

（其中a＞c＞0）．
（1）求曲線C的方程，并指出其軌跡類型；
（2）當(dāng)a=2，c=

3

時(shí)，問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線m與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，使原點(diǎn)O位于以線段PQ為直徑的圓上？若存在，請(qǐng)求出直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知條件，由橢圓第二定義能求出曲線C的方程和軌跡類型．
（2）由已知條件推導(dǎo)出橢圓方程為

x2

4

+y2=1，假設(shè)滿足條件的直線存在．設(shè)直線m的方程為y=kx+2，聯(lián)立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出直線m的方程．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，
點(diǎn)P到定點(diǎn)F（c，0）的距離與到定直線l：x=

a2

c

的距離的比等于

c

a

（其中a＞c＞0），
∴由橢圓第二定義知，
曲線C是以F（c，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
其標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1．
（2）∵a=2，c=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1，
假設(shè)存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線m與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，
使原點(diǎn)O位于以線段PQ為直徑的圓上．
①直線m的斜率不存在，直線m的方程為x=0，
此時(shí)P（0，1），Q（0，-1），不成立；
②若直線m的斜率存在，設(shè)直線m的方程為y=kx+2，
聯(lián)立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
∵△=256k²-192k²-48＞0，
∴k＞

3

2

或k＜-

3

2

．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

-16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

12k2-32k2+16k2+4

4k2+1

=

4-4k2

4k2+1

，
∵原點(diǎn)O位于以線段PQ為直徑的圓上，
∴

OP

⊥

OQ

，
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

12

4k2+1

+

4-4k2

4k2+1

=0，
解得k=±2，
∴直線m的方程為y=±2x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的第二定義，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．