Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+b-a+3=0，其中a、b為常數(shù)，點（a，b）是區(qū)域Ω：

0≤a≤4 0≤b≤4

內(nèi)的隨機點．
（1）當(dāng)方程無實根且a、b∈N 時，試列舉出所有的點（a，b），并求此時概率P₁；
（2）設(shè)該方程的兩個實根分別為x₁、x₂，試求x₁、x₂滿足 0≤x₁≤1≤x₂ 時的概率P₂．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）當(dāng)方程無實根且a、b∈N 時，利用列舉法，即可求出所有的點（a，b），并根據(jù)古典概率的概率公式即可求此時概率P₁；
（2）把f（x）=0的兩個根滿足的條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的兩個零點滿足的條件，分別畫出點（a，b）滿足的區(qū)域Ω及在區(qū)域Ω內(nèi)滿足條件0≤x₁≤1≤x₂的點（a，b）的區(qū)域，再利用幾何概型的概率計算公式即可得出概率P₂．

解答： 解：（1）若a，b∈N，則滿

0≤a≤4 0≤b≤4

的點共有5×5=25個結(jié)果，
若方程無實根，則△=4-4（b-a+3）＜0，
即a-b＜2，∴b＞a-2，
則當(dāng)a=0時，b＞-2，此時b=0，1，2，3，4，
當(dāng)a=1時，b＞-1，此時b=0，1，2，3，4，
當(dāng)a=2時，b＞0，此時b=1，2，3，4，
當(dāng)a=3時，b＞1，此時b=2，3，4，
當(dāng)a=4時，b＞2，此時b=3，4，
則滿足條件的點共有（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），共有19個結(jié)果，
則根據(jù)古典概率的公式可知此時概率P₁=

19

25

．
（2）令f（x）=x²-2x+b-a+3，由方程f（x）=0的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂且x₁、x₂滿足0≤x₁≤1≤x₂，
則根據(jù)二次函數(shù)根的分布可知，函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（0，1]、[1，+∞）各有一個零點．
即

f(0)＞0 f(1)≤0

，即

b-a+3＞0 b-a+2≤0

．
分別畫出點（a，b）滿足的區(qū)域Ω：

0≤a≤4 0≤b≤4

，
在區(qū)域Ω內(nèi)滿足條件0≤x₁≤1≤x₂的點（a，b）的區(qū)域如圖．
區(qū)域Ω的面積=4×4=16，梯形EFMN的面積=S_△AMN-S_△AEF=

1

2

×2×2-

1

2

×1×1=

3

2

∴方程f（x）=0的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂且x₁、x₂滿足0≤x₁≤1≤x₂的事件的概率P₂=

3 2

16

=

3

32

．

點評：本題主要考查古典概率和幾何概型的概率的計算，考查學(xué)生的計算能力，綜合性較強．