Question

設

a1

=2

i

-

j

+

k

，

a2

=

j

+3

j

-2

k

，

a3

=-2

i

+

j

-3

k

，

a4

=3

i

+2

j

+5

k

，

i

，

j

，

k

是空間兩兩垂直的單位向量是否存在實數(shù)λμγ，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+γ

a3

成立？不存在請說明理由．

Answer 1

考點：空間向量的基本定理及其意義

專題：方程思想,空間向量及應用

分析：假設存在λ、μ、γ，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+γ

a3

，根據(jù)向量的運算與相等，列出方程組，求出λ、μ、γ的值即可．

解答： 解：假設存在λ、μ、γ，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+γ

a3

，
則3

i

+2

j

+5

k

=λ（2

i

-

j

+

k

）+μ（

i

+3

j

-2

k

）+γ（-2

i

+

j

-3

k

）
=（2λ+μ-2γ）

i

+（-λ+3μ+γ）

j

+（λ-2μ-3γ）

k

，
∴

2λ+μ-2γ=3 -λ+3μ+γ=2 λ-2μ-3γ=5

；
解得λ=-2，μ=1，γ=-3；
∴存在λ=-2、μ=1、γ=-3，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+γ

a3

成立．

點評：本題考查了空間向量的線性運算與解方程組的應用問題，是基礎題目．