Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ADC=90°，且CD=2，AD=

2

，AB=PD=1，E在線段PC上移動，且

PE

=λ

PC

．
（1）當(dāng)λ=

1

3

時，證明：直線PA∥平面EBD；
（2）是否存在λ，使面EBD與面PBC所成二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）首先利用邊的關(guān)系求出，AC和BD的長，進一步利用△AOB∽△COD，得出

PE

EC

=

(    )

(    )

AO

CO

=

1

2

，最后得出直線PA∥平面EBD
（2）建立空間直角坐標(biāo)系：先假設(shè)存在實數(shù)λ，使面EBD與面PBC所成二面角為直二面角，則：根據(jù)PD⊥平面∴P（0，0，1），B（

2

，1，0），C（0，2，0），設(shè)面PBC的法向量為：

n1

=（x，y，z）
則：

PB

=(

2

，1，-1)，

PC

=(0，2，-1)，

PB • n1 =0 PC • n1 =0

，解得：

n1

=(

2

2

，1，2)，利用

PE

=λ

PC

．進一步求得：E（2λ，0，1-λ）

EB

=(2λ-

2

，-1，1-λ)，

DE

=(2λ，0，1-λ)，進一步設(shè)：面EBD的法向量為：

n2

=(m，n，p)，

EB • n2 =0 DE • n2 =0

，解得

n2

=(1，

2

，

2λ

λ-1

)，所以利用

n1

•

n2

=0，解得：λ=

12 2 -9

23

，得出存在實數(shù)．

解答： （1）證明：連結(jié)：AC，BD
在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠ADC=90°，且CD=2，AD=

2

，AB=PD=1，
所以：利用勾股定理解得：
AC=

6

   BD=

3

∵AB∥CD
△AOB∽△COD

AO

CO

=

1

2

E在線段PC上移動，且

PE

=

1

3

PC

．
∴

PE

EC

=

(    )

(    )

AO

CO

=

1

2

EO∥PA
PA?平面EBD，EO?平面EBD
直線PA∥平面EBD
（2）結(jié)論：存在實數(shù)λ=

12 2 -9

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，使面EBD與面PBC所成二面角為直二面角．
解：假設(shè)存在λ，使面EBD與面PBC所成二面角為直二面角
建立空間直角坐標(biāo)系D=xyz
則：根據(jù)PD⊥平面ABCD，∠ADC=90°，且CD=2，AD=

2

，AB=PD=1，
∴P（0，0，1），B（

2

，1，0），C（0，2，0）
設(shè)面PBC的法向量為：

n1

=（x，y，z）
則：

PB

=(

2

，1，-1)，

PC

=(0，2，-1)

PB • n1 =0 PC • n1 =0

解得：

n1

=(

2

2

，1，2)

PE

=λ

PC

．
進一步求得：E（2λ，0，1-λ）

EB

=(2λ-

2

，-1，1-λ)，

DE

=(2λ，0，1-λ)
設(shè)：面EBD的法向量為：

n2

=(m，n，p)

EB • n2 =0 DE • n2 =0

解得：

n2

=(1，

2

，

2λ

λ-1

)
所以

n1

•

n2

=0
解得：λ=

12 2 -9

23

故存在實數(shù)λ=

12 2 -9

23

，使面EBD與面PBC所成二面角為直二面角．

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，三角形相似的應(yīng)用，面面垂直的性質(zhì)定理，存在性問題的應(yīng)用，法向量的應(yīng)用及相關(guān)的運算問題．