Question

設(shè)曲線f（x）=x²+1和g（x）=x³+x在其交點(diǎn)處兩切線的夾角為θ，求cosθ．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出兩曲線的交點(diǎn)，再分別求得導(dǎo)數(shù)及切線的斜率，求得切線方程，再由兩直線的方向向量，運(yùn)用夾角公式，即可得到所求值．

解答： 解：由

y=x2+1 y=x3+x

，得x³-x²+x-1=0，
即（x-1）（x²+1）=0，∴x=1，∴交點(diǎn)為（1，2）．
又f'（x）=2x，∴f'（1）=2，
∴曲線y=f（x）在交點(diǎn)處的切線l₁的方程為y-2=2（x-1），即y=2x，
又g'（x）=3x²+1．∴g'（1）=4．
∴曲線y=g（x）在交點(diǎn)處的切線l₂的方程為y-2=4（x-1），即y=4x-2．
取切線l₁的方向向量為

a

=(1，2)，切線l₂的方向向量為

b

=(1，4)，
則cosθ=

a • b

| a|| b |

=

9

5 × 17

=

9 85

85

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，同時(shí)考查兩直線的夾角問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．