Question

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，且f（1）=1．
（Ⅰ）若對(duì)于任意x∈[0，1]，總有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 證明f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的單調(diào)性得到1-f（x）≥0，然后把4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0分離變量a，利用基本不等式求其最小值，則實(shí)數(shù)a的范圍可求；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和，然后借助于在[0，1]上函數(shù)f（x）是增函數(shù)得答案．

解答： （Ⅰ）解：f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，則f（x）≤f（1）=1，故1-f（x）≥0，
當(dāng)f（x）=1時(shí)，不等式化為0•a+1≥0，顯然a∈R；
當(dāng)f（x）＜1時(shí)，不等式化為a≤

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

對(duì)于x∈[0，1]恒成立．
y=

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

=1-f(x)+

1

4[1-f(x)]

≥1．
當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=

1

2

取等號(hào)，
∴y_min=1，從而a≤1．
綜上所述，a∈（-∞，1]；
（Ⅱ）證明：令T_n=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

  ①，
則

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

  ②，
①-②得Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

1

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1，
又由①知T_n＞0，
∵f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)＜f(1)=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了分離變量法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．