設(shè)f(k)是滿足不等式log2x+log2(3×2k-1-x)≥2k-1(k∈N+)的自然數(shù)x的個(gè)數(shù).

(1)求f(k)的解析式;

(2)記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式;

(3)令Pn=n2+n-1(n∈N+),試比較Sn與Pn的大。

答案:
解析:

  解:(1)由已知不等式可得

  

  2k-1≤x≤2k,從而f(k)=2k-2k-1+1=2k-1+1.

  (2)Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)

 。20+21+…+2n-1+n

 。2n+n-1.

  (3)Sn-Pn=2n-n2

  當(dāng)n=1時(shí),21-12>0;當(dāng)n=2時(shí),22-22=0;

  當(dāng)n=3時(shí),23-32<0;當(dāng)n=4時(shí),24-42=0;

  當(dāng)n=5時(shí),25-52>0;當(dāng)n=6時(shí),26-62>0.

  猜想:當(dāng)n≥5時(shí),Sn>Pn

  下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

  ①當(dāng)n=5時(shí),Sn>Pn,上面已證;

 、诩僭O(shè)n=k時(shí),Sk>Pk,即2k>k2,

  則n=k+1時(shí),

  ∵Sk-Pk+1=2k+1-(k-1)2>2k2-(k+1)2=(k-1)2-2,

  當(dāng)k≥5時(shí),(k-1)2-2>0,∴Sk+1>Pk+1

  故當(dāng)n≥5時(shí),總有Sn>Pn成立.

  綜上可知:當(dāng)n=1或n≥5時(shí),有Sn>Pn;

  當(dāng)n=2或n=4時(shí),Sn=Pn;

  當(dāng)n=3時(shí),Sn<Pn


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設(shè)f(x)=a•qx(a,q是正數(shù),q≠1),不等的正整數(shù)m、k、h滿足k2=mh,試比較[f(m)]
1
m
[f(h)]
1
h
[f(k)]
2
k
的大。

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設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸,若函數(shù)f(x)滿足:(1)f(x)在M內(nèi)單調(diào)遞增,(2)方程f(x)=x在M內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根,則稱f(x)為遞增閉函數(shù),現(xiàn)在f(x)=k+2
x+1
是遞增閉函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  )

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設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸,若函數(shù)f(x)滿足:(1)f(x)在M內(nèi)單調(diào)遞增,(2)方程f(x)=x在M內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根,則稱f(x)為遞增閉函數(shù).若f(x)=k-k是遞增閉函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

[  ]

A.(-∞,0]

B.[2,+∞)

C.(-∞,-2]

D.[-2,0)

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設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸,若函數(shù)f(x)滿足:(1)f(x)在M內(nèi)單調(diào)遞增,(2)方程f(x)=x在M內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根,則稱f(x)為遞增閉函數(shù),現(xiàn)在f(x)=k+2
x+1
是遞增閉函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  )
A.(-2,+∞)B.(-∞,1]C.(-2,-1]D.(-2,1)

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A.(-2,+∞)
B.(-∞,1]
C.(-2,-1]
D.(-2,1)

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