Question

11．已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，當a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）在其定義域上是增函數(shù)還是減函數(shù)．并證明你的結論；
（2）若把定義域與值域相同的函數(shù)叫做“同域函數(shù)”，判斷函數(shù)f（x）是否是“同域函數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，用單調(diào)性的定義即可證明；
（2）根據(jù)（1）的結論，求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的值域，判斷f（x）是否為“同域函數(shù)”即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
即x₂+（-x₁）＞0，其中-x₁，x₂∈[-1，1]，
∴$\frac{f{（x}_{2}）+f（{-x}_{1}）}{{x}_{2}+（{-x}_{1}）}$＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
又f（x）是[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
且f（1）=1；
又f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1）=-1，
∴f（x）的值域為[-1，1]，
∴函數(shù)f（x）的定義域與值域相同，是“同域函數(shù)”．

點評 本題考查了新定義的函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明問題，是綜合性題目．