在區(qū)間[0,1]上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,則函數(shù)f(x)=
1
2
x3+ax-b
在區(qū)間[-1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為( 。
A、
1
8
B、
1
4
C、
7
8
D、
3
4
分析:由題意知本題是一個(gè)幾何概型,根據(jù)所給的條件很容易做出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的面積,而滿足條件的事件是函數(shù)f(x)=
1
2
x3+ax-b在區(qū)間[-1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求出導(dǎo)函數(shù),看出函數(shù)是一個(gè)增函數(shù),有零點(diǎn)等價(jià)于在自變量區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)相反,得到條件,做出面積,根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果.
解答:解:由題意知本題是一個(gè)幾何概型,
∵a∈[0,1],
∴f'(x)=1.5x2+a≥0,
∴f(x)是增函數(shù)若在[-1,1]有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則f(-1)•f(1)≤0∴(-0.5-a-b)(0.5+a-b)≤0,即(0.5+a+b)(0.5+a-b)≥0 a看作自變量x,b看作函數(shù)y,由線性規(guī)劃內(nèi)容知全部事件的面積為1×1=1,滿足條件的面積為
7
8
∴概率為
7
8
1
=
7
8
,
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)幾何概型,對(duì)于這樣的問題,一般要通過把試驗(yàn)發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來,根據(jù)集合對(duì)應(yīng)的圖形做出面積,用面積的比值得到結(jié)果.
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