Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn)，AB=AC=1，PA=2．
（1）求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；
（2）求點(diǎn)P到平面DEF的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面DEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出直線PA與平面DEF所成角的正弦值；
（2）利用點(diǎn)P到平面DEF的距離d=

| PF • n |

| n |

，求點(diǎn)P到平面DEF的距離．

解答： 解：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由AB=AC=1，PA=2，得A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），D（

1

2

，0，0），E（

1

2

，

1

2

，0），F(xiàn)（0

1

2

，1），∴

AP

=（0，0，2），

DE

=（0，

1

2

，0），

DF

=（-

1

2

，

1

2

，1），
設(shè)面DEF的法向量為

n

=（x，y，z）．
則

y=0 x=2z

取z=1，則

n

=（2，0，1），
設(shè)PA與平面DEF所成角為θ，則sin θ=|

2

2 5

|=

5

5

．
（2）∵

PF

=（0，

1

2

，-1），

n

=（2，0，1），
∴點(diǎn)P到平面DEF的距離d=

| PF • n |

| n |

=

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查線面角，考查點(diǎn)到平面的距離，考查向量法，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．