Question

已知A（3，

3

），O是原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，則
（Ⅰ）

OA • OP

| OA |

 的最大值為

 

；
（Ⅱ）

OA • OP

| OP |

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)量積的定義轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（3，

3

），O是原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y），
∴z=

OP • OA

| OA |

=

3x+ 3 y

2 3

=

3

2

x+

1

2

y，
即y=-

3

x+2z，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=-

3

x+2z，當(dāng)y=-

3

x+2z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)直線y=-

3

x+2z的截距最大，此時(shí)z最大，
當(dāng)y=-

3

x+2z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-2，0）時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最�。�此時(shí)z_min=

3

，
由

3 x-y=0 x- 3 y+2=0

，得

x=1 y= 3

，即B（1，

3

），
此時(shí)最大值z(mì)=

3

2

+

3

2

=

3

，
（Ⅱ）

OA • OP

| OP |

=

| OA || OP |cosθ

| OP |

=|OA|cosθ=2

3

cosθ，
由圖象可知當(dāng)P在直線OB上時(shí)，此時(shí)θ最小，
當(dāng)P在直線OC上時(shí)，此時(shí)θ最大，
∵A（3，

3

），∴OA的傾斜角為30°，OB的傾斜角為60°，
則θ最小值為60°-30°=30°，θ最大值為180°-30°=150°，
即30°≤θ≤150°，則-

3

2

≤cosθ≤

3

2

，
則-3≤2

3

cosθ≤3，
故答案為：

3

，[-3，3]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．